Герт ван Дейк

Летающие животные или настоящая «грузоподъёмность»

Среда, 16 августа 2017 года

В ответ на вопрос на веб-сайте «Спекулятивная эволюция» я подумал, что было бы полезно написать короткое сообщение о полёте животных с оглядкой на другие миры, помимо Земли. Окажется, что логика очень похожа на логику дизайна ног. Эта тема, посвящённая толщине кости, обсуждалась в двух предыдущих записях здесь и здесь. Здесь в ход пошло немного математики, но нет ничего сложнее, чем понимание сил и корней.
В этой записи будет рассмотрен только самый основной аспект полёта – пребывание в воздухе. Давайте начнём с рассмотрения животного, находящегося в стабильном полёте. Это означает, что оно не теряет и не набирает высоту, двигаясь вперёд каким-то образом, который мы будем игнорировать (те же рассуждения будут справедливы и в случае, когда животное стабильно скользит вниз, когда подъёмная сила несколько меньше веса). Когда животное находится в воздухе, не опускаясь, две силы должны быть равны по величине: сила тяжести тянет животное вниз, а подъёмная сила тянет его вверх. Нам нужно рассмотреть каждую из них поподробнее. Во-первых, вес; это сила, возникающая при действии гравитации на тело:

вес = гравитационная постоянная (g) * масса тела (m),

Авторское право: Герт ван Дейк

На рисунке сверху показано несколько изображений обычного птицеподобного существа рода Avidisneius. Разберёмся с размером тела животного; о крыле поговорим позже. Для этого нам нужно понять, что его масса равна произведению его плотности и объёма. Мы совсем не будем менять плотность, но начнём манипулировать с объёмом. Объём определяется его длиной, высотой и шириной. Пусть это звучит так, словно животное имеет форму прямоугольного кирпича, однако по сути это правильно. Но форма, более сложная, чем кирпич, не меняет принципа, согласно которому его объём зависит от произведения его длины, ширины и высоты; просто будут добавлены различные постоянные факторы, которые мы игнорируем. Все три измерения являются мерами длины, которые мы можем обозначить как «L». Таким образом, объём равен L*L*L, или L в третьей степени: L³. Вес составлял g*m, и теперь мы заменяем «m» на L³:

вес = g * плотность * L³.

Теперь мы можем перейти к подъёмной силе. Учебники скажут вам, что она зависит от довольно простого уравнения:

подъёмная сила = rho * площадь * v².

Rho – это плотность воздуха. «Площадь» – это площадь крыла, как видно сверху, а «v²» – квадрат скорости животного относительно воздуха. Оно говорит нам о том, что существует три способа увеличить подъёмную силу. Очевидно, что мы не можем изменить первую, плотность атмосферы, но уравнение говорит нам, что атмосфера с двойной плотностью удваивает подъёмную силу. Уменьшите эту плотность вдвое, и у вас будет лишь половина подъёмной силы, что станет плохой новостью для животных, пытающихся летать на таких планетах, как Марс. Мы можем и будем манипулировать с площадью крыла: увеличьте площадь крыла вдвое, и вы получите двойную подъёмную силу. Настоящим победителем здесь будет скорость: удвоение скорости даёт в четыре раза большую подъёмную силу, потому что в формуле содержится скорость в квадрате.
Конечно, крыло также можно описать длиной, шириной и высотой. Здесь мы будем использовать обозначение не «L», а «W», чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с крылом. Масса крыла будет W³, но его площадь пропорциональна W². Таким образом, уравнение для подъёмной силы приобретает такой вид:

подъёмная сила = rho * W² * v².

Авторское право: Герт ван Дейк

Два уравнения, для веса и подъёмной силы – это всё, что нам сейчас нужно. Давайте возьмём Avidisneius и либо удвоим, либо утроим его размер, как на рисунке сверху. Чтобы получить новые формы, мы заменяем «L» в уравнении веса на «2L» или «3L». Объем становится (2L)³ или (3L)³, что дает нам 8*L³ и 27*L³. Масса и вес изменяются прямо пропорционально объёму, поэтому вес увеличится в 8 или 27 раз.
К сожалению, это «простое масштабирование» нарушает баланс между весом и подъёмной силой. Почему? Помните, что подъёмная сила зависит от площади и, следовательно, от W². Поэтому, если мы удвоим или утроим W, как мы сделали для L, мы получим новые площади крыла (2W)² и (3W)², или 4*W² и 9*W². Эти крылья, несмотря на то, что они стали больше, слишком малы, чтобы выдержать ещё больший вес. Это всё из-за этой чёртовой третьей степени для веса по сравнению с квадратом для подъёмной силы. (Кстати, общепринятое выражение для «масштабирования каждого из измерений на одинаковую величину» – это «геометрически подобное».)

Авторское право: Герт ван Дейк

Увы, крылья придется сделать ещё крупнее. На рисунке сверху показаны результаты вначале для предыдущего «простого» масштабирования и далее для «исправленной» попытки масштабирования. Мы увидели, что удвоение размера тела (L=2) приведёт к увеличению веса в 8 раз. Поэтому нам нужно новое крыло, площадь которого больше в 8 раз. Аналогично, если мы сделаем корпус в три раза больше (L=3), то площадь нового крыла должна быть в 27 раз больше первоначальной. Мы можем узнать, на какую величину нам следует изменить размер крыла «W»: площадь была квадратом W, поэтому, чтобы найти новое «W», мы извлекаем квадратный корень из 8 и 27: числа равны 2,82 и 5,20 соответственно. Таким образом, если размер корпуса (L) должен быть в 2 раза больше, размер крыла (W) должен стать больше в 2,82 раза, а если корпус станет в 3 раза больше, крыло должно стать в 5,2 раза больше.
А теперь-то всё решено? И опять увы... Дополнительное увеличение крыла создаёт необходимую подъёмную силу, чтобы компенсировать корпус большего размера. Но и само крыло тоже станет тяжелее. Помните, что объём соответствует длине в третьей степени? Если наш новый размер крыла W в 2,82 раза больше исходного, то масса нового крыла будет на 2,82³ больше исходной, или в 22,43 раза больше! Это уже не смешно. Для животного, которое стало в 3 раза больше, размер крыла W должен был стать 5,2 вместо 3, что означает, что новый объём крыла будет в 140 раз больше первоначального, хотя тело стало тяжелее всего в 27 раз. «Исправленное» масштабирование определённо не тянет...
От этих кубических эффектов никуда не деться. Вот ещё один способ увидеть разрушительные последствия этого. Предположим, что масса крыла изначально составляла около 20% от массы животного. Для исходного Avidisneius общей массой 500 г крыло будет иметь массу 100 г, а всё остальное – 400 г. Давайте возьмём животное, которое мы сделали в три раза больше с использованием «исправленного» масштабирования: новая масса тела составит 27*400 г, или 10 800 г. Масса крыла 100 г превращается в 140*100 г, или 14 000 г. Таким образом, наша исходная зверюшка весом 0,5 кг теперь весит 24,8 кг, и ошеломляющие 56% от его веса теперь составляют крылья. Хорошо, если вам нравится мясо крылышек, и вдобавок животное можно было бы легко поймать: смогут ли его сердце и лёгкие просто угнаться за этими массивными крыльями? Имейте в виду, что в реальной жизни и сами кости и мышцы также нуждаются в дополнительном увеличении, поскольку их сила зависит от диаметра (примеры см. в сообщениях, упомянутых выше, или в моём обсуждении великанов из «Игры престолов» здесь).
Урок состоит в том, что если вы увеличиваете размер летающего животного, размер крыла должен увеличиваться больше, чем размер тела. Это происходит в природе на самом деле: у более крупных птиц крылья относительно большего размера. Но нет спасения от безжалостных различий, вызванных весом, зависящим от кубических эффектов и подъёмной силы, тогда как сила костей и мышц зависит от площади их поперечного сечения. При достижении некоторого размера единственный вес, который сможет поднять крыло, будет весом самого крыла! Но задолго до того, как будет достигнута эта точка, конструкция перестанет быть жизнеспособным животным. Сложно сказать, где находится «Предел правдоподобия полёта». В настоящее время дрофа кори, возможно, является самой крупной летающей птицей на Земле. Она весит до 18 кг при размахе крыльев 275 см. Но вымершие птицы, возможно, весили 40 кг или даже 72 кг. А правда ли, что птерозавры весили до 250 кг? Здесь есть место для размышлений (что убеждает меня в том, что Фурахе нужны какие-то исполинские звери в небесах). Однако, пожалуйста, не надо просто геометрически увеличивать воробья и представлять его птицей весом 250 кг: приближение к пределу требует глубоких изменений в анатомии и эффективности полёта.

Иные планеты

Уроки для иных планет не очень сложны: если вы увеличите гравитацию на определённую величину, то вы увеличите вес на ту же самую величину. Если вы пересаживаете летающее животное, похожее на земное, в тяжёлый мир, вы должны убедиться, что подъёмная сила увеличивается на ту же величину. Увеличение крыльев обеспечит это, но из-за более тяжёлого крыла вам следует избавиться от значительной части веса везде, где только можно. Вы также можете заставить своё животное летать быстрее, но не думайте, что это решает все проблемы: ваше животное должно уметь летать и на низких скоростях, чтобы начинать движение и останавливаться. Вы могли бы эволюционировать двигательную систему таким образом, чтобы она обеспечивала дополнительную подъёмную силу.
И напротив, высокая плотность атмосферы – это роскошь: если вы удвоите её плотность, то можете избавиться от половины площади крыла, а это значит, что «W» должна составлять всего лишь 0,7 от той величины, которой она была бы на Земле. Чем гуще воздух, тем больше вы можете мечтать о птицах с короткими куцыми крылышками, которые напоминают летучих пингвинов.
А может ли у нас получиться нечто такого же размера, как дракон из «Игры престолов», летающий по планете с явно земными гравитацией и атмосферой? Конечно же, нет. Не будьте глупыми. Драконы летают при помощи магии. Птицы так не умеют.