Герт ван Дейк

Сколько ног лучше всего иметь мегамонстрам?

Воскресенье, 22 мая 2011 г.

Около года назад я сделал две записи о том, что происходит с ногами, когда животное увеличивается в размерах (здесь и здесь). Вкратце скажу, что, если вы сделаете тело животного в два раза больше, новое тело будет весить в восемь раз больше старого, а не в два раза. Если вы сделаете ноги в два раза больше, они не будут достаточно сильными, чтобы выдержать новый вес, поэтому единственное решение – сделать ноги толще более чем в два раза. Итогом всего этого окажется то, что у очень крупного животного ноги должны быть пропорционально больше, чем у маленького. Существует предел того, насколько крупным вы можете сделать животное: в какой-то момент ногам потребуется больше питания, чем может дать им тело, или случится что-то ещё такое же глупое.

Авторское право: Герт ван Дейк

На прошлой неделе Ян задал вопрос на доске объявлений сайта прокта «Фураха»: он спросил, какой план тела лучше всего подходит для очень больших животных. Этот вопрос заставил меня задуматься: чем больше ног, тем меньше может каждая нога быть, чтобы поддерживать вес тела. Как это повлияет на массу всех ног вместе взятых? Если бы общая масса шести тонких ног была бы меньше, чем двух толстых ног, и они выполняли бы ту же работу, то наличие шести ног было бы лучшим планом строения для очень крупных животных, чем наличие двух. Это было бы хорошее экстравагантное и неземное решение! Такой вариант показан сверху на довольно глупой картинке (человеческая фигура прилагается к программе и предназначена только для того, чтобы показать масштаб).
Будет ли это работать или нет – мне это было интуитивно непонятно, поэтому я поднял кое-какую информациюпо вопросу и обнаружил работу Роберта МакНейла Александра (если вы интересуетесь биомеханикой, вы ещё не раз встретитесь с его работой). В данном случае часть ответа была описана в этой книге: “Optima for Animals”.

Авторское право: Герт ван Дейк

Наши рассуждения начинаются с труб. Существуют веские причины, по которым кости ног позвоночных и ноги насекомых представляют собой трубы, и почему трубы являются такими важными конструкционными элементами в технологии. Они обладают примерно такой же прочностью, что и цельные стержни одного с ними диаметра, но весят значительно меньше, так что выполнять ту же работу при меньшем количестве костей – это неплохая мысль. Все три трубки, изображённые сверху, имеют одинаковый наружный диаметр, но продольные отверстия в них различаются по диаметру. В статьях на эту тему вы найдете очень важный параметр «k»: он описывает ширину внутреннего отверстия как долю его наружного диаметра. Слева k равно 1, поэтому отверстие крошечное. В средней кости k равно 0,5, а в правой k равно 0,9 – это означает, что здесь есть только тонкая оболочка из кости. Значение 0 означает, что отверстия вообще нет, а значение 1 будет означать, что кость бесконечно тонкая (проще говоря, кости нет!).
Одинакова ли прочность у всех этих костей? Нет, это не так. Если вы оцениваете исключительно силу изгиба, то есть одна хорошая формула, которая содержит три интересующих нас элемента: «изгибающий момент» M (нагрузка, которую должна выдерживать кость), наш приятель «k» и радиус r внешней стороны кости (помимо них, в ней есть лишь одна вещь: это константа K для материала – её можете не брать во внимание).
Вот она:

r = [M/K(1-k⁴)]^0,33

Если оставить величину нагрузки M постоянной, то можно рассчитать, каков будет радиус для любого заданного значения k. Давайте так и сделаем.

Авторское право: Герт ван Дейк

На изображении выше показано, что происходит при четырёх значениях k: 0, 0,3, 0,6 и 0,9. Как вы можете видеть, значение радиуса также увеличивается: чтобы выдерживать такую же нагрузку, более тонкие кости должны стать шире. Обратите внимание, что это едва наблюдается, когда отверстия сравнительно невелики. На самом деле эффект становится явно заметным только тогда, когда значение k увеличивается с 0,6 до 0,9. Важно ли это? Да: кубики перед костями изображают массу самой кости, и это прекрасно показывает, почему трубки – это хорошо. Все они одинаково прочны, но тонкостенные весят гораздо меньше.
На Земле в случае млекопитающих всё будет значительно сложнее, потому что в полостях костей находится костный мозг. Костный мозг, хотя и не такой тяжёлый, как сама кость, всё же делает кость в целом тяжелее. Кость с очень тонкой оболочкой будет объёмистой и будет содержать много костного мозга, что противоречит цели сделать кости лёгкими. Для млекопитающих с костным мозгом внутри костей существует оптимальное значение k, при котором кость в целом весит меньше всего; это значение составляет около 0,63. Если, однако, вам удастся поместить в полость воздух вместо костного мозга, как у птиц, то получается уже совсем другая история, и вы сможете увеличить значение k. При значении выше примерно 0,9 кости становятся слишком восприимчивыми к изгибу, поэтому для костей, наполненных воздухом, существует ещё одно оптимальное значение: значение 0,9 является превосходным. Следовательно, у нашего гипотетического мегамонстра должны быть трубчатые кости, заполненные воздухом, со значением k, равным 0,9!
Но мы пока ещё не дошли до конечной цели. На самом деле вопрос заключался в том, что произойдёт, если мы дадим животному большее количество ног. Давайте предположим, что силы просто распределены между ногами, поэтому при наличии четырёх ног каждая нога должна нести ровно одну четверть общей нагрузки. Помните, что в формуле было три интересующих нас параметра: изгибающий момент M, внешний радиус кости r и k. Примем значение k равным 0,9, и после этого мы сможем рассчитать r для четырёх значений изгибающего момента. Эти значения для каждой из ног равны 1 (у животного одна нога), 0,5 (две ноги), 0,25 (четыре ноги) и 0,125 (восемь ног).

Авторское право: Герт ван Дейк

На этом рисунке показаны полученные при расчётах кости, а также количество самих костей. Как вы можете видеть, кость у животного с восемью ногами гораздо менее толстая, чем у животного с одной ногой. Пока всё идёт хорошо. Меньшая кость должна весить значительно меньше, чем кость одноногого животного, чего мы и хотели. С другой стороны, сейчас таких костей восемь, так что вопрос в том, каков их суммарный вес.
Вес каждой кости у двуногого мегамонстра составляет 63% от веса кости одноногого, поэтому две кости в сумме весят 126% от веса одиночной кости. Это не то, чего мы хотели, поскольку две ноги весят больше, чем одна. Станет ли лучше, если мы добавим больше ног? Ну, в случае четырёх ног каждая из них весит около 40% от веса одиночной кости, а все вместе они весят 159%. При восьми ногах каждая из них весит 25% от веса одиночной кости, так что их общая масса составляет 200% от одиночной кости.
Какое разочарование... Я надеялся, что всё будет наоборот. Теперь же похоже, что меньшее количество ног – это лучший способ сэкономить вес, если вам нужен мега-монстр. Очевидно, что давать ему только одну ногу – это непрактично: существовал бы большой риск упасть, а единственный способ передвижения – это прыгать сериями костедробильных прыжков. Две ноги – вполне осуществимый вариант: просто вспомните плотоядных динозавров. Четыре – это тоже хорошо. В последней отчаянной попытке спасти концепцию многоногих мегамонстров я мог бы сказать, что наличие шести или восьми ног обеспечивает безопасность и является возможным преимуществом. Двуногий монстр со сломанной ногой будет однозначно обречён, а четвероногий – скорее всего, обречён. Но шестиногий мог бы справиться с переломом одной ноги и заковылять прочь.
Можно было бы ожидать, что животные с многоногим планом строения тела утратят некоторые конечности по мере того, как становятся всё больше и больше – в качестве меры по экономии веса. Таким конечностям можно было бы придать иное назначение помимо передвижения, чтобы они могли развиться, ну, почти во всё, что угодно. Они могли бы превратиться в дубинки, или можно было бы пойти по пути кентавризации, что тоже интересно.
Однако я всё равно ещё ощущаю разочарование…