Герт ван Дейк
Масштабирование, или
Размер имеет значение, но и сила тяжести тоже
Суббота,
19 июня 2010 года
Как вы показываете на одной картинке мышь и динозавра, чтобы
проиллюстрировать разницу в размерах? Этот странный вопрос возник, когда я
готовился опубликовать эту запись. Суть этой темы состоит в том, каким образом
увеличение животных в размерах, «масштабирование», влияет не только на их
размер, но и на их очертания. Масштабирование представляет интерес для спекулятивной
биологии, потому что определённую роль здесь играет и гравитация. Так как
же взаимодействуют друг с другом гравитация и размер, определяя в общих чертах
облик животного?
Нередко можно прочитать утверждения о том, что у животных в мире с высокой
гравитацией должны быть толстые столбчатые ноги, а у животных в мире с низкой
гравитацией ноги будут тонкими. И действительно, в этом блоге я сам написал
несколько таких утверждений. Но проблема здесь в том, что эти утверждения
не слишком точны. Ведь по идее, толстоногие слоны и тонконогие пауки живут
в условиях одинаковой гравитации, поэтому такие утверждения в лучшем случае
являются неполными. О масштабировании у животных издано несколько отличных
книг (вот одна из них, легко
доступная), но ни одна из них не уделяет внимание дополнительному эффекту,
создаваемому иной силой тяжести. В данной записи этого также не будет; гравитацию
мы рассмотрим позже. До того, как мы станем всё это обсуждать, заслуживает
внимания ещё один вопрос: как будут выглядеть ноги, если их единственная функция
– выступать в качестве опор для поддержания веса. На самом деле они движутся,
и для этого требуются ещё и иные конструктивные особенности. Здесь необходимо
некоторое знание математики.
Авторское право: Герт ван Дейк
Давайте начнем с простого мысленного эксперимента: небольшой блок, расположенный
на колонне – это отмечено на рисунке сверху буквой А. Колонна имеет как раз
нужную ширину, чтобы выдерживать вес стоящего на ней блока, не разрушаясь.
Цилиндр заменяет кость в ноге. Его способность выдерживать вес зависит от
площади поверхности его поперечного сечения. Предположим, что его диаметр
равен D: формула для поперечного сечения содержит величину D2.
Фактический диаметр в сантиметрах нам неважен; важно то, что увеличение диаметра
сопровождается ещё большим увеличением поперечного сечения: удвоение диаметра
увеличивает поперечное сечение в четыре раза, а утроение диаметра приводит
к увеличению диаметра в девять раз. Думаю, вы все это знали.
Блок, сидящий на ножке, может быть описан через длину любого из его рёбер;
давайте обозначим её как L. Объём блока определяется как L в третьей степени,
здесь записывается как L3. Нас больше интересует вес, нежели объём,
а вес зависит от нескольких факторов: массы объекта и силы тяжести (о которой
мы пока забудем). Масса объекта зависит от относительной плотности материала
(неважно, лёгкий он, или тяжёлый; мы также забудем об этом) и, конечно же,
от объёма объекта. Вес блока пропорционален его объёму и, следовательно, L3.
Теперь давайте увеличим всё это, умножив каждую меру длины на 2: и L, и D
станут в два раза больше. Это ситуация B на рисунке сверху. Вес блока в 8
раз больше, чем был: он был пропорционален объему, L3, а новый
объём равен (2L)3 = 8L3. Вы можете проверить это визуально:
старый блок укладывается в новый 8 раз. Диаметр колонны тоже увеличился вдвое.
Первоначальный диаметр был пропорционален D2, поэтому новый диаметр
становится (2D)2 или 4D2. Другими словами, он стал в
четыре раза больше*. Таким образом, она может выдерживать в четыре раза больший
вес, чем исходная колонна. Это хорошо, но этого недостаточно, так как блок,
сидящий на ней, стал тяжелее в 8 раз!
* Здесь автор явно ошибается. Диаметр
увеличился в два раза. В 4 раза увеличилась площадь сечения колонны,
но в оригинале текста речь опять идёт о диаметре. – прим. перев.
Единственный способ обойти это – изменить ширину колонны. На какую величину
необходимо изменить исходный диаметр D, чтобы поддерживать блок весом в 8
раз больше исходного? Ответ состоит в том, что площадь поперечного сечения
колонны должна стать в 8 раз больше, чем была. Это уравнение не так уж трудно
решить. Если ввести коэффициент масштабирования x для диаметра, чтобы
новый диаметр стал xD, новое поперечное сечение станет (xD)2,
что равно x2D2. Множитель x2
говорит о том, насколько больше должно стать поперечное сечение, чтобы получилось
8 раз; следовательно, x2 = 8. Величина x – это
квадратный корень из 8, или около 2,83. Таким образом, новый диаметр должен
не удвоиться, а увеличиться в 2,83 раза, и это то, что было сделано в ситуации
C, изображённой сверху.
Вспомните, откуда взялось значение «8», из которого мы извлекли квадратный
корень: это была третья степень числа 2, а 2 – это коэффициент, на который
мы увеличили значение x. Что мы на самом деле сделали, так это взяли
коэффициент x, возвели его в третью степень, чтобы ввести в расчёты
новый вес, а затем извлекли квадратный корень, чтобы получить новый коэффициент
увеличения диаметра. Выполнение всего этого за один шаг означает возведение
коэффициента в степень 3/2.
Авторское право: Герт ван Дейк
Вот почему крупным животным нужны относительно более толстые ноги, чем мелким:
поперечные сечения зависят от возведения единицы длины в квадрат, а веса –
от возведения её в третью степень. Чтобы показать вам свой следующий номер,
я иллюстрировал его при помощи зверька из палочек. Я сделал «Disneius
caniformis (varietas hortiformis)», то есть, мультяшную собачку садовой
разновидности, изображённую сверху. Её туловище и голова составлены из сфер,
и они соответствуют блоку, упомянутому выше: что касается блока, то его объём
зависит от единицы длины, возведённой в третью степень. Ноги и шея окрашены
в жёлтый цвет и соответствуют колонне сверху: диаметр этих жёлтых частей тела
будет скорректирован с учётом веса всех коричневых частей. Изображённый сверху
D. caniformis имеет длину один метр, так что размером он с крупную
собаку. Стул показан здесь для того, чтобы дать какое-то представление о размерности.
Авторское право: Герт ван Дейк
Давайте проведём быструю эволюцию и создадим его двоюродного брата, который
будет меньше в 10 раз – таким образом, размерный коэффициент равен 0,1: это
D. musformis. Он достигает всего лишь 10 см в длину и весит в 1000
раз меньше, чем D. caniformis. Диаметр его ножек был изменён на коэффициент
0,11,5, или в 0,0316 раза. В результате получается животное с иными
характеристиками, гораздо более подходящими мелкому животному. Вы можете спросить,
почему я не растопырил его ноги или не согнул их сильнее, но такие вопросы
я оставлю для другой записи.
Авторское право: Герт ван Дейк
Эволюция могла бы пойти и другим путём, поэтому коэффициент размера становится
равным 10. Полученный D. giganticus имеет длину 10 м и тяжелее D.
caniformis в 1000 раз. Это животное может посоперничать размером лишь
с динозаврами и немногими крупнейшими млекопитающими из когда-либо существовавших.
Его ноги стали поистине колоссальными: их диаметр увеличился в 31,6 раза!
(то есть 101,5). Вы вполне можете задаться вопросом о том, практично
ли такое животное: в конце концов, увеличенные ноги теперь составляют значительно
большую часть массы его тела, чем у D. caniformis, но при этом выполняют
ту же самую работу: они позволяют животному стоять.
Авторское право Герт ван Дейк
И вот, наконец, все три вида вместе, и это как раз та проблема, с которой
я начал рассказ: как изобразить мышь и динозавра на одной картинке? Уменьшить
масштаб настолько, чтобы стал видимым D. giganticus, означает сделать
невидимым D. musformis; вместо этого я увеличил масштаб настолько,
чтобы сделать видимым D. musformis, сохраняя при этом видимой самую
впечатляющую особенность D. giganticus: его ноги.
Предупреждение для тех, кто всё ещё читает эти строки: существует достаточно
много доказательств того, что описанная выше механика действительно работает.
Например, у полорогих (коров и их родственников) диаметр кости соотносится
с длиной кости по описанному выше принципу. Вот интернет-страница,
где объясняются некоторые из этих же вещей и изложены некоторые фактические
данные (мои данные взяты из других источников). Многие из полорогих достаточно
сильно похожи друг на друга, и это может помочь с объяснением, почему данное
соотношение так хорошо подходит в данном случае. Если же вы возьмете млекопитающих
всех форм и очертаний тела, то соответствие окажется менее строгим, а масса
скелета увеличится не так сильно, как «должна бы». По-видимому, на то есть
разные причины. Важнейшей среди них является то, что ноги движутся, и это,
как уже говорилось, предъявляет иные требования к их устройству. Поэтому,
пожалуйста, не начинайте проектировать животных именно с такими очертаниями
тела, потому что это может быть ошибкой.
Аналогичные мысли справедливы и в отношении других органов и тканей. Например,
усилие, которое развивает типичная мышца млекопитающего, пропорционально поперечному
сечению её волокон. Видите проблему? Когда вы удваиваете размер животного,
масса его мышц увеличивается в восемь раз, но их сила увеличивается лишь в
четыре раза. Условно говоря, вы сделали животное слабее! Очень сложная это
штука – масштабирование животных; слава богу, что эффекты гравитации не так
сложны...
Оригинал статьи находится здесь.
Размер имеет значение, но и силя тяжести тоже – II
Воскресенье, 18 июля 2010 года
В предыдущей записи о масштабировании я попытался объяснить, почему нельзя
просто удвоить все размеры животного, если вы хотите сделать его крупнее.
Кости ног, в частности, должны стать более чем вдвое толще. Причина заключалась
в том, что удвоение длины, высоты и ширины животного приведёт к тому, что
оно будет весить не в два, а в восемь раз больше. Чтобы выдержать восьмикратное
увеличение веса, поперечное сечение костей голени должно стать больше в восемь
раз, а не в четыре, что вы получите, если просто удвоите диаметр. Требуемое
изменение диаметра получается путем извлечения квадратного корня из величины,
на которую должно измениться поперечное сечение. Квадратный корень из 8 равен
2,82 – вот, что у нас и получилось.
Всё это относится к изменению размеров животного на одной и той же планете;
но что произойдёт, если размер животного останется прежним, но его перенесут
в мир с иной силой тяжести? Понять несложно: кости ног вновь должны выдерживать
вес животного, поэтому вопрос в том, насколько всё изменится под воздействием
иной силы тяжести. Вес – это сила: это произведение гравитационного ускорения
g и массы объекта. Из этого следует, что вес прямо пропорционален
значению g, и это значение зависит от планеты; за стандартную принимается
земная гравитация, поэтому она составляет 1g. Перевозка животного
любого заданного веса в мир с 2g удвоит этот вес, а пребывание в
мире с 3g утроит его и т. д. Чтобы адаптировать свои кости к этим
новым условиям, их поперечное сечение должно будет стать вдвое больше в мире
с 2g, в три раза больше в мире с 3g и т. д. Несложно понять,
что именно это означает для диаметра костей: для мира с 2g исходный
диаметр должен быть умножен на квадратный корень из 2, который равен 1,41,
а для мира с 3g эта величина будет равна квадратному корню из 3,
или 1,73.
Авторское право: Герт ван Дейк
На рисунке сверху показана масса на цилиндре. Диаметр цилиндра как раз подходит
для того, чтобы выдержать вес куба. Считается, что кубики находятся в трех
разных мирах: 0,5g, 1g и 2g. Цилиндры были изменены
таким образом, чтобы каждый из них подходил к своему миру, поэтому их диаметры
составляют 0,70, 1 и 1,41.
Авторское право: Герт ван Дейк
Для тех, кто склонен к математике, здесь представлена взаимосвязь между размером
тела, диаметром костей ног и гравитацией вместе взятые. Изменение общего размера,
которого вы хотите достичь, указано на оси x (таким образом, «3»
означает, что рост, длина и ширина животного должны быть в три раза больше
первоначального размера), а ось y показывает, на сколько вам нужно
умножить исходный диаметр кости ноги, чтобы получить новый. Три синие линии
показывают соотношение для трёх разных значений g. Предположим, что
у вашего животного возникнут проблемы, если диаметр кости увеличится более
чем в четыре раза – например, из-за того, что у животного будет слишком много
костей! График показывает, что вы достигаете диаметра с этим значением, когда
размер увеличивается чуть более чем в два раза в мире с 2g, но в
мире с 0,5g животное может увеличиться более чем втрое по сравнению
с первоначальным размером. Таким образом, на тяжёлой планете у вас могут существовать
животные с тонкими костями, но они просто должны быть немного мельче, чем
животные с аналогичными костями на планете с низкой гравитацией.
Авторское право: Герт ван Дейк
Наконец, вот мультяшная собачка (Disneius caniformis), приспособленная
к трём разным мирам. Конечно, есть и другие вещи, о которых нужно позаботиться
при проектировании форм жизни для миров с различной гравитацией. И если вес
животного меняется при переносе его в другой мир, то его масса не меняется,
и его инерция тоже. Мышечную массу также необходимо будет изменить, так как
для выдерживания большего веса потребуются более крупные мышцы. Возможно,
придётся также изменить и положение ног. Чем сложнее противодействовать большому
весу, тем больше вероятность того, что ноги будут удерживаться в вертикальном
положении, т. е. без больших углов между костями. Сложность, о которой идёт
речь, зависит как от массы животного, так и от местной силы тяжести. Имейте
в виду, что ещё очень многое можно сказать о сгибании ног, а также об их развороте
наружу; это не одно и то же, но, возможно, это тема для другой записи.
PS. Похоже, становится всё сложнее находить новые интересные проекты в области
спекулятивной биологии, которые ещё не так хорошо известны. Я положил глаз
на один из них, но предложения приветствуются.
Оригинал статьи находится здесь.
Перевод на русский язык: П. Волков, 2022